Kas Ir Trigonometrija?

{h1}

Trigonometrija ir matemātikas nozare, kas pēta attiecības starp trijstūru malām un leņķiem.

Trigonometrija ir matemātikas nozare, kas pēta attiecības starp trijstūru malām un leņķiem. Trigonometrija ir atrodama visā ģeometrijā, jo katru taisno malu var sadalīt trīsstūru kolekcijā. Turklāt trigonometrijai ir pārsteidzoši sarežģītas attiecības ar citām matemātikas nozarēm, jo ​​īpaši ar sarežģītiem skaitļiem, bezgalīgām sērijām, logaritmiem un aprēķiniem.

Vārds trigonometrija ir 16. gadsimta latīņu valodas atvasinājums no grieķu vārdiem trīsstūris (trigōnon) un izmērīt (metronija). Lai arī lauks parādījās Grieķijā trešajā gadsimtā pirms mūsu ēras, daži no vissvarīgākajiem ieguldījumiem (piemēram, sinusa funkcija) nāca no Indijas piektajā gadsimtā pirms mūsu ēras. Tā kā senās Grieķijas agrīnie trigonometriskie darbi ir zaudēti, nav zināms, vai indiešu zinātnieki izstrādāja trigonometriju patstāvīgi vai pēc grieķu ietekmes. Saskaņā ar Viktoru Katzu grāmatā "Matemātikas vēsture (3. izdevums)" (Pīrsons, 2008), trigonometrija galvenokārt attīstījās no grieķu un indiešu astronomu vajadzībām.

Piemērs: burinieku masta augstums

Pieņemsim, ka jums jāzina buru laivas masta augstums, bet nespēj uzkāpt uz tā, lai izmērītu. Ja masts ir perpendikulārs klājam un masta augšdaļa ir piestiprināta pie klāja, tad masta, klāja un takelāžas troses veido taisnu trīsstūri. Ja mēs zinām, cik tālu virve ir piestiprināta no masta, un slīpa, pie kuras virve atbilst klājam, tad viss, kas mums nepieciešams, lai noteiktu masta augstumu, ir trigonometrija.

Šajā demonstrācijā mums ir jāizskata pāris veidi, kā aprakstīt "slīpi". Pirmais ir slīpums, kas ir attiecība, ar kuru salīdzina, cik vienību līnija palielinās vertikāli (tās celties), salīdzinot ar to, cik vienību tas palielinās horizontāli (tā skriet). Tāpēc slīpumu aprēķina kā kāpumu dalot ar nobraukumu. Pieņemsim, ka mēs izmērām takelāžas punktu kā 30 pēdas (9,1 metru) no masta pamatnes (gaitas). Reizinot nobraucienu ar slīpumu, mēs iegūtu kāpumu - masta augstumu. Diemžēl mēs nezinām slīpumu. Tomēr mēs varam atrast leņķis takelāžas virves un izmantojiet to, lai atrastu slīpumu. Leņķis ir pilna apļa daļa, ko definē kā tādu, kam ir 360 grādi. To var viegli izmērīt ar proraktoru. Pieņemsim, ka leņķis starp takelāžas virvi un klāju ir 71/360 apļa jeb 71 grāds.

Mēs vēlamies slīpumu, bet viss, kas mums ir, ir leņķis. Mums ir vajadzīgas attiecības, kas abas saista. Šīs attiecības sauc par “pieskare funkcija ", kas ierakstīta kā tan (x). Leņķa tangente norāda tā slīpumu. Mūsu demonstrācijas modelim vienādojums ir šāds: tan (71°) = 2,90. (Mēs paskaidrosim, kā šo atbildi saņēmām vēlāk.)

Tas nozīmē, ka mūsu takelāžas virves slīpums ir 2,90. Tā kā takelāžas punkts atrodas 30 pēdas no masta pamatnes, mastam jābūt 2,90 × 30 pēdu vai 87 pēdu garš. (Metriskajā sistēmā tas darbojas tāpat: 2,90 x 9,1 metri = 26,4 metri.)

Sinuss, kosinuss un pieskare

Atkarībā no tā, kas ir zināms par dažādiem taisnstūra sānu garumiem un leņķiem, ir vēl divas trigonometriskās funkcijas, kuras var būt noderīgākas:sinuss funkcija ", kas ierakstīta kā grēks (x), un"kosinuss funkcija ", kas uzrakstīts kā cos (x). Pirms mēs izskaidrojam šīs funkcijas, ir nepieciešama papildu terminoloģija. Sānus un leņķus, kas pieskaras, raksturo kā blakus. Katrā pusē ir divi blakus leņķi. Sānus un leņķus, kas nepieskaras, raksturo kā pretī. Taisnstūrim sānu, kas ir pretējs taisnajam leņķim, sauc par hipotenūza (no grieķu valodas nozīmē “stiepjas zem”). Abas atlikušās puses tiek sauktas kājas.

Parasti mūs interesē (kā iepriekšējā piemērā) leņķī, kas nav taisnais leņķis. Tas, ko mēs minētajā piemērā saucām par “celšanos”, tiek uzskatīts par pretējās kājas garumu interesējošajam leņķim; tāpat kā “nobraucienu” uzskata par blakus esošās kājas garumu. Pielietojot leņķa izmēru, trīs trigonometriskās funkcijas rada dažādas sānu garuma attiecību kombinācijas.

Citiem vārdiem sakot:

  • Leņķa A pieskare = pretējās puses garums, dalīts ar blakus esošās puses garumu
  • Leņķa A sinuss = pretējās puses garums, dalīts ar hipotenūzes garumu
  • Kosinuss leņķī A = blakus esošās malas garums, dalīts ar hipotenūzes garumu

No mūsu iepriekš izmantotā kuģa masta piemēra attiecības starp leņķi un tā tangenci var noteikt pēc tā diagrammas, kas parādīta zemāk. Iekļauti arī sinusa un kosinusa grafiki.

Trīs principu trigonometriskās funkcijas.

Trīs principu trigonometriskās funkcijas.

Kredīts: Roberts J. Coolmans

Jāatzīmē, lai arī ārpus šī raksta tvēruma ir tas, ka šīs funkcijas ir savstarpēji saistītas, izmantojot ļoti daudz dažādu sarežģītu vienādojumu, kas pazīstami kā identitātes, vienādojumus, kas vienmēr ir patiesi.

Katrai trigonometriskajai funkcijai ir arī apgriezts, ko var izmantot, lai atrastu leņķi no sāniem. Sin (x), cos (x) un tan (x) apgriezti ir attiecīgi arcsin (x), arccos (x) un arctan (x).

Triju principu trigonometrisko funkciju apgriezieni.

Triju principu trigonometrisko funkciju apgriezieni.

Kredīts: Roberts J. Coolmans

Trigonometrija nav ierobežota tikai ar taisnstūriem. To var izmantot ar visiem trīsstūriem un visām formām ar taisnām malām, kuras uzskata par trīsstūru kolekciju. Jebkuram trīsstūrim pāri sešiem sānu un leņķu izmēriem, ja ir zināmi vismaz trīs, parasti var noteikt pārējos trīs. No sešām zināmām trīs malu un leņķu konfigurācijām tikai divas no šīm konfigurācijām nevar izmantot, lai noteiktu visu par trīsstūri: trīs zināmi leņķi (AAA) un zināms leņķis, kas atrodas blakus un ir pretējs zināmajām pusēm (ASS). Nezināmus sānu garumus un leņķus nosaka, izmantojot šādus rīkus:

  • Sinešu likums, kurā teikts, ka, ja ir zināmi abi triju pretējo leņķu / sānu pāru izmēri, pārējos var noteikt tikai no viena zināmā: grēks (A) / a = grēks (B) / b = grēks ( C) / c
  • Kosinosa likums, kas saka, ka nezināmu pusi var atrast no divām zināmām pusēm un leņķi starp tām. Tā būtībā ir Pitagora teorēma ar korekcijas koeficientu leņķiem, kas nav 90 grādi: c2 = a2 + b2 - 2ab ∙ cos (C)
  • Fakts, ka visiem trīsstūra leņķiem jāpievieno līdz 180 grādiem: A + B + C = 180°

Trigonometrijas vēsture

Trigonometrija seko līdzīgam ceļam kā algebra: tā tika izstrādāta senajos Tuvajos Austrumos un ar tirdzniecības un imigrācijas palīdzību pārcēlās uz Grieķiju, Indiju, viduslaiku Arābiju un visbeidzot Eiropu (kur attiecīgi koloniālisms padarīja to par versiju, ko mūsdienās māca lielākā daļa cilvēku). Trigonometrisko atklājumu laika grafiku sarežģī fakts, ka Indija un Arābija turpināja izcilību šajā pētījumā gadsimtiem ilgi pēc zināšanu nodošanas pāri kultūras robežām. Piemēram, Madāvas 1400. gadā atklātais bezgalīgais sinusa sērija nebija zināms līdz Īzaka Ņūtona neatkarīgajam atklājumam 1670. gadā. Sakarā ar šīm komplikācijām mēs koncentrēsimies tikai uz sinusa, kosinusa un pieskares atklāšanu un pāreju.

Sākums Tuvajos Austrumos, septītā gadsimta B.C. neobabilonijas zinātnieki noteica paņēmienu fiksēto zvaigžņu augšanas laiku aprēķināšanai zodiakā. Aptuveni 10 dienas prasa, lai cita fiksēta zvaigzne paceltos tieši pirms rītausmas, un katrā no 12 zodiaka zīmēm ir trīs fiksētas zvaigznes; 10 × 12 × 3 = 360. Skaitlis 360 ir pietiekami tuvu 365,24 dienām gadā, bet ar to ir daudz ērtāk strādāt. Gandrīz identisks dalījums ir atrodams citu seno civilizāciju, piemēram, Ēģiptes un Indu ielejas, tekstos. Kā saka Uta Merzbaha grāmatā "Matemātikas vēsture" (Wiley, 2011), šīs babiloniešu tehnikas pielāgošana Aleksandrijas grieķu zinātnieka Hipiksa ap 150 B.C., iespējams, bija iedvesma Nicas Hiparhūza (no 190 līdz 120 BC) sākt apļa sagriešanu 360 grādos. Izmantojot ģeometriju, Hipparhauss noteica trigonometriskās vērtības (funkcijai, kuru vairs neizmanto) ar soli 7,5 grādi (48th no apļa). Aleksandrijas Ptolemaja (A.D. no 90 līdz 168) savā A.D. 148 "Almagest" sekmēja Hiparhūza darbu, nosakot trigonometriskās vērtības ar 0,5 grādu soli (a 720th apļa) no 0 līdz 180 grādiem.

Senākais sinusa funkcijas ieraksts nāk no Indijas piektā gadsimta Arijatas darbā (476. līdz 550. gads). "Arjābātijas" (499) 1.12. Pants tā vietā, lai attēlotu leņķus grādos, satur divdesmit ceturto taisnā leņķa sinusu secīgo atšķirību sarakstu (3,75 grādu solis). Tas bija daudzu nākamo gadsimtu trigonometrijas sākuma punkts.

Nākamā lielisko zinātnieku grupa, kas mantoja trigonometriju, bija no islāma zelta laikmeta. Al-Ma'muns (no 813 līdz 833), Abbasid kalifāta septītais kalifs un Gudrības nama radītājs Bagdādē, sponsorēja Ptolemaja "Almagest" un Arijabatas "Aryabhatiya" tulkojumu arābu valodā. Drīz pēc tam Al-Khwārizmī (780 līdz 850) "Zīj al-Sindhind" (820) izveidoja precīzas sinusa un kosinusa tabulas. Tieši ar šo darbu pirmās zināšanas par trigonometriju nonāca Eiropā. Pēc Džeralda Toomēra vārdnīcā "Zinātniskās biogrāfijas 7 vārdnīca", kaut arī sākotnējā arābu valodas versija ir zaudēta, to ap 1000 rediģēja Al-Andalus (mūsdienu Spānija) al-Majriti, kurš, iespējams, pievienoja pieskares tabulas pirms Adelard of Bāts (Anglijas dienvidos) to tulkoja latīņu valodā 1126. gadā.

Papildu resursi

  • Matemātika ir jautra: trigonometrija
  • Hanas akadēmija: trigonometrija
  • Wolfram MathWorld: trigonometrija


Video Papildinājums: Trigonometrija. Kampo sinusas, kosinusas ir tangentas..




Pētniecība


Kā Tiek Izgatavoti Saliektie Salmiņi?
Kā Tiek Izgatavoti Saliektie Salmiņi?

Video Spēles Palīdz Astronautiem Sagatavoties Misijām Kosmosā
Video Spēles Palīdz Astronautiem Sagatavoties Misijām Kosmosā

Zinātne Ziņas


Mumificēts Ēģiptes Sievietes Portrets, Kas Kartēts Neticami Detalizēti
Mumificēts Ēģiptes Sievietes Portrets, Kas Kartēts Neticami Detalizēti

Fda Apstiprina Pirmo “Digitālo” Tableti: Kā Tā Darbojas?
Fda Apstiprina Pirmo “Digitālo” Tableti: Kā Tā Darbojas?

Kāpēc Cilvēki Sevi Griež Vai Sadedzina Nolūkā
Kāpēc Cilvēki Sevi Griež Vai Sadedzina Nolūkā

Šis Dzelzs Lobītais Gliemezis Ir Pilnīgi Metāls... Un Tagad Tas Ir Apdraudēts
Šis Dzelzs Lobītais Gliemezis Ir Pilnīgi Metāls... Un Tagad Tas Ir Apdraudēts

Kas Ir Magnētisms? | Magnētiskie Lauki Un Magnētiskais Spēks
Kas Ir Magnētisms? | Magnētiskie Lauki Un Magnētiskais Spēks


LV.WordsSideKick.com
Visas Tiesības Aizsargātas!
Pavairošana Materiālu Atļauts Tikai Prostanovkoy Aktīvu Saiti Uz Vietni LV.WordsSideKick.com

© 2005–2020 LV.WordsSideKick.com